Question

【題目】設(shè)集合，若X是的子集，把X中所有元素的和稱(chēng)為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱(chēng)X為的奇（偶）子集．

（1）寫(xiě)出S4的所有奇子集；

（2）求證：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；

（3）求證：當(dāng)n≥3時(shí)，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）.

（2）對(duì)于的奇子集，

當(dāng)時(shí)，取；

當(dāng)時(shí)，取，則為的偶子集.

反之，若為的偶子集，

當(dāng)時(shí)，取；

當(dāng)時(shí)，取，則為的奇子集.

的奇子集與偶子集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以的奇子集和偶子集的個(gè)數(shù)相等.

（3）對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，含的的子集共有個(gè).

由（2）可知，對(duì)每個(gè)數(shù)，在奇子集與偶子集中，所占的個(gè)數(shù)是相等的；

當(dāng)時(shí)，將（2）中的1換成3即可.可知在奇子集與偶子集中所占的個(gè)數(shù)是相等的.

則每個(gè)元素在奇子集與偶子集中所占的個(gè)數(shù)相等.

所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.