Question

【題目】在數列中，，且對任意，都有．

（1）計算，，，由此推測的通項公式，并用數學歸納法證明；

（2）若（），求無窮數列的前項之和與的最大項．

Answer 1

【答案】（1），，．推測，見解析

（2）前項和為，最大項為．

【解析】

（1）直接由所給遞推公式計算，并歸納，然后用數學歸納法證明；

（2）無窮數列的前項的和可以分成兩個等比數列的和，由此可計算和，然后對分類，其偶數項遞減，奇數項遞增，但所有奇數項都滿足，因此有最大．

解：（1）∵，且對任意，都有．

∴，，．

由此推測的通項公式，．

下面利用數學歸納法證明：

①當時，成立；

②假設當時，．

則時， ，

因此當時也成立，

綜上：，成立．

（2）（），

∴，

∴無窮數列的各項之和.

當（）時，，單調遞減，因此當時，取得最大值．

當（）時，，單調遞增，且．

綜上可得：的最大項為．