Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，設函數g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，則g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+…+g（

2014

2015

）=（　　）

• A、2 013
• B、2 014
• C、2 015
• D、2 016

Answer 1

考點：導數的運算,函數的值

專題：導數的概念及應用

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（

1

2

，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結論．

解答： 解：函數的導數g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=

1

2

，而f（

1

2

）=1，
故函數g（x）關于點（

1

2

，1）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=2，
故設g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+…+g（

2014

2015

）=m，
則g（

2014

2015

）+g（

2013

2015

）+…+g（

1

2015

）=m，
兩式相加得2×2014=2m，
則m=2014．
故選：B

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．