Question

設a_n=1+++…+(n∈N^*),是否存在關于n的整式g(n），使等式a₁+a₂+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)對一切大于1的正整數n都成立？若存在，求出g(n);若不存在，說明理由.

Answer 1

解：假設g(n)存在

當n=2時，由a₁=g(2)(a₂-1)即

1=g(2)×(1+-1),解得g(2)=2.

當n=3時，由a₁+a₂=g(3)(a₃-1)即1+(1+)=g(3)×(1++-1),得g(3)=3.

當n=4時，同樣可得g(4)=4.

由此猜想g(n)=n.(n≥2,n∈N^*)

下面用數學歸納法證明.

當n≥2,n∈N^*時，等式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n(a_n-1)恒成立.

當n=2時，a₁=1,g(2)(a₂-1)=2×=1,結論成立.

假設n=k.(k≥2)時結論成立，則

a₁+a₂+a₃+…+a_k-1+a_k=k(a_k-1)+a_k=(k+1)·a_k-(k+1)+1

=(k+1)(a_k+-1)=(k+1)(a_k+1-1)

∴n=k+1時結論成立.

綜上可知，對于大于1的正整數n,存在g(n)=n,使a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)恒成立.