Question

給出下列命題：
①若f′（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處有極值；
②m＞0是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件；
③若f（x）=（x²-8）e^x，則f（x）的單調遞減區間為（-4，2）；
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e₁，雙曲線

x2

b2

-

y2

a2

=1的離心率為e₂，則e₁+e₂的最小值為2

2

其中為真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：①f′（x₀）=0是函數f（x）在x=x₀處有極值的必要非充分條件，例如函數f（x）=x³在x=0處無極值；
②m＞0且m≠4是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件，即可判斷出；
③令f′（x）=（x+4）（x-2）e^x＜0，解得即可得出f（x）的單調遞減區間；
④由于e₁+e₂=

1+ b2 a2

+

1+ a2 b2

=

c

a

+

c

b

≥

2

a2+b2 2

×c即可判斷出．

解答： 解：①若f′（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處不一定有極值，例如函數f（x）=x³在x=0處無極值，不正確；
②m＞0且m≠4是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件，因此不正確；
③若f（x）=（x²-8）e^x，則f′（x）=（x²+2x-8）e^x=（x+4）（x-2）e^x，
令f′（x）＜0，解得-4＜x＜2，因此f（x）的單調遞減區間為（-4，2），正確；
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e₁，雙曲線

x2

b2

-

y2

a2

=1的離心率為e₂，
則e₁+e₂=

1+ b2 a2

+

1+ a2 b2

=

c

a

+

c

b

≥

2

a2+b2 2

×c=2

2

，當且僅當a=b時取等號．其最小值為2

2

，正確．
其中為真命題的序號是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、圓錐曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．