Question

（2008•佛山二模）某物流公司購買了一塊長AM=30米、寬AN=20米的矩形地塊，規劃建設占地如圖中矩形ABCD的倉庫，其余地方為道路或停車場，要求頂點C在地塊對角線MN上，頂點B，D分別在邊AM，AN上，設AB長度為x米．
（1）要使倉庫占地面積不小于144平方米，求x的取值范圍；
（2）若規劃建設的倉庫是高度與AB的長度相等的長方體建筑，問AB的長度是多少時，倉庫的庫容量最大？（墻地及樓板所占空間忽略不計）

Answer 1

分析：（1）首先利用三角形的相似性，求得邊AD與邊AB的長度關系，建立三角形面積函數模型，再由S≥144，得出邊AB的長度范圍；
（2）先確定倉庫的庫容量，再利用基本不等式，即可求最值．

解答：解：（1）由題意，

20-AD

20

=

x

30

，∴AD=20-

2

3

x（ 2 分）
∴SABCD=AB•AD=x(30-

2

3

x)（ 4 分）
∵倉庫占地面積不小于144平方米，
∴x(30-

2

3

x)≥144
∴12≤x≤18（ 6分）
（2）由題意，V庫容=x2(20-

2

3

x)=9•

1

3

x•

1

3

x(20-

2

3

x)≤9•(

1 3 x+ 1 3 x+20- 2x 3

3

)3=

8000

3

，
當且僅當

1

3

x=20-

2x

3

，即x=20（米）時，V最大為

8000

3

（立方米）      （12分）

點評：本題考查函數模型的確立，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．