Question

定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2的奇函數，且當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）用單調性定義證明f（x）在（-1，0）上時減函數；
（3）當λ取何值時，不等式f（x）＞λ在R上有解．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）利用奇函數f（x）在x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

即可求得f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜0，作差f（x₁）-f（x₂）后化積，判斷符號，得出f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證得f（x）在（-1，0）上時減函數；
（3）依題意，可求得f（x）在[-1，1]上的解析式為f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

，分別求得當x∈（-1，0）與x∈（0，1）的值域，利用周期為2即可求得R上的值域．

解答： 解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

．…（2分）
又f（x）是奇函數，∴f （-x）=-f （x）=

2x

4x+1

．∴f（x）=-

2x

4x+1

．
∵f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．…．（3分）
∴f（x）在（-1，1）上的解析式為
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（4分）
（2）證明：令-1＜x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x2-2x1)(1-2x2+x1)

(4x2+1)(4x1+1)

＞0，
∴f（x）在（-1，0）上時減函數； …．（7分）
（3）不等式f（x）＞λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f（x）在R上的最大值．
又f（x）是最小正周期為2的函數，∴對任意的x有f（x+2）=f（x）．∴f（-1）=f（-1+2）=f（1）．另一面f（-1）=-f（1），∴-f（1）=f（1）．∴f（1）=f（-1）=0．∴f（x）在[-1，1]上的解析式為
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（8分）
當x∈（-1，0）時，有-

1

2

＜f（x）=-

2x

4x+1

＜-

2

5

；…．（9分）
又f（x）是奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）在（0，1）上也是減函數，
∴

2

5

＜f（x）=

2x

4x+1

＜

1

2

，∴f（x）在[-1，1]上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…10分
由f（x）是周期為2的函數，故f（x）在R上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…11分
λ＜

1

2

時，不等式f（x）＞λ在R上有解．…．（12分）

點評：本題考查指、對數不等式的解法，著重考查函數的單調性的判斷與證明，考查分段函數的解析式與值域的確定，考查轉化思想，是難題．