Question

已知函數f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并證明你的判斷．
（Ⅲ）是否存在實數λ，使得當x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）時，函數f（x）的值域為[2-λm，2-λn]，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義即可求實數a的值；
（Ⅱ）根據函數單調性的定義即可證明f（x）的單調性．
（Ⅲ）根據函數的單調性將條件關系轉化為一元二次方程根的取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

為偶函數，
∴f（-x）=

x2-(a+1)x+a

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
即-（a+1）=a+1，
解得a=-1．
（Ⅱ）當a=-1時，f（x）=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，
則函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（-∞，0）為減函數．
證明：設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x22

-

1

x12

=

x12-x22

x12x22

=

(x1-x2)(x1+x2)

x12x22

．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
故函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
同理可證在（-∞，0）為減函數．
（Ⅲ）∵函數f（x）在（0，+∞）上為增函數
∴若存在實數λ，使得當x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）時，函數f（x）的值域為[2-λm，2-λn]，
則滿足

f( 1 m )=1-m2=2-λm f( 1 n )=1-n2=2-λn

，
即

m2-λm+1=0 n2-λn+1=0

，
即m，n是方程x²-λx+1=0的兩個不等的正根．
則滿足

△=λ2-4＞0 m+n=λ＞0 mn=1＞0

，
即

λ＞2或λ＜-2 λ＞0

，解得λ＞2，
故存在λ＞2，使得結論成立．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用以及一元二次方程根與系數之間的關系，綜合考查函數的性質．