Question

各項為正數的數列{a_n} 的前n項和為S_n，且滿足：S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）設函數f（n）=

an(n為奇數) f( n 2 )，(n為偶數)

，c_n=f（2ⁿ+4（n∈N^*），求數列{c_n} 的前n項和T_n；
（3）設λ為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m、n、k，不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，求實數λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）從而導出，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，而a_n為正數，所以a_n-a_n-1=2（n≥2），由此推出a_n的通項公式．
（2）先求出{c_n}的通項公式，然后利用等比數列求和公式求解即可，注意討論n；
（3）根據不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，將參數λ分離出來，研究不等式另一側的最值，又m+n=3k且m≠n，利用基本不等式即可求出最值，從而求出實數λ的最大值．

解答：解：（1）由S_n=

1

4

an²+

1

2

an+

1

4

（n∈N^*）…①
得n≥2時，S_n-1=

1

4

an-1²+

1

2

an-1+

1

4

（n∈N^*）…②
①-②化簡可得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又a_n＞0，所以當n≥2時，a_n-a_n-1=2
∴數列{a_n} 成等差數列，公差為2
又a1=S1=

1

4

a

2 1

 +

1

2

a1+

1

4

則a₁=1
∴a_n=2n-1
（2）由f（n）=

an(n為奇數) f( n 2 )，(n為偶數)

，
可得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1
當n≥3時
c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1
故當n≥3時
T_n=2ⁿ+n
∴Tn=

5        (n=1) 2n+n  (n≥2)

  （3）S_m+S_n＞λS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞λ•k²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2⇒

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故λ≤

9

2

，即λ的最大值為

9

2

．

點評：本題考查數列的性質和應用，以及最值的研究，解題時要認真審題，注意計算能力的培養，屬于中檔題．