Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．

（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；

（2）當PD=AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）45°.

【解析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．

（Ⅰ）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據面面垂直的判定定理可知在平面AEC內一直線與平面PDB垂直，而根據題意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE，根據線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

（1）證明：∵底面ABCD是正方形

∴AC⊥BD

又PD⊥底面ABCD

PD⊥AC

（2）解：設AC與BD交于O點，連接EO

則易得∠AEO為AE與面PDB所成的角

∵E、O為中點 ∴EO＝PD ∴EO⊥AO

∴在Rt△AEO中 OE＝PD＝AB＝AO

∴∠AEO＝45° 即AE與面PDB所成角的大小為45°