Question

【題目】已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點，線段AB的長為，D是AB的中點．

（1）求動點D的軌跡C的方程；

（2）若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，當|PQ|＝3時，求直線l的方程。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝3.（2）.

【解析】試題分析：（1）設A(a，a)，B(b，－b),根據AB的長為2得(a－b)2＋(a＋b)2＝12，再根據D是AB的中點得a－b=2y,a+b=2x,代入化簡可得點D的軌跡C的方程（2）設直線點斜式方程，根據垂徑定理列式解斜率，最后討論斜率不存在時是否滿足題意

試題解析：解：　(1)設D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),

∵D是AB的中點， ∴x＝，y＝，

∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，

∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴點D的軌跡C的方程為x2＋y2＝3.

(2) ①當直線l與x軸垂直時，P(1，)，Q(1，－)，

此時|PQ|＝2，不符合題意；

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x－1)，

由于|PQ|＝3，所以圓心C到直線l的距離為，

由＝，解得k＝.故直線l的方程為y＝(x－1).