Question

【題目】已知橢圓的離心率是，上頂點B是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的兩個動點，且(是坐標原點），試問：點到直線的距離是否為定值？若是，試求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）原點到直線的距離為定值.

【解析】

試題（1）由題意，根據離心率，可得，又，即可求解橢圓的方程；

（2）由直線的斜率不存在時，可求解；由直線的斜率存在時，設直線方程為，代入橢圓的方程，根據韋達定理，可得，代入化簡，進而得到點到直線的距離為定值。

試題解析：（Ⅰ）由題設知 ①

又 ②

所以橢圓的標準方程為

（Ⅱ）若直線軸，設直線，并聯立橢圓方程解出，，

，，由得；

若直線不平行軸，設直線，，，代入橢圓的方程消得，設，，，，由韋達定理得 ③， ④，由得，

即 ，即，

即 ⑤

把③、④代入⑤并化簡得 ，所以

原點到直線的距離定值．