Question

（本小題滿分10分）
如圖，AB是⊙O的直徑 ，AC是弦 ，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E.OE交AD于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若，求的值.

Answer 1

（1）結合同弧所對的圓周角相等來求解直線DE⊥OD，同時OD是圓的半徑來說明是切線
（2）根據題意可知△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB
求解得到AE，又由△AEF∽△DOF，得到比值。

解析試題分析：略證 （１） 連結OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分
∴OD∥AE  又AE⊥DE             …………3分
∴DE⊥OD，又OD為半徑 ∴ DE是的⊙O切線 …………5分
⑵ 提示：過D作DH⊥AB于H 則有∠DOH=∠CAB
 
Cos∠DOH=cos∠CAB=   ……………………6分
設OD=5x，則AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH=8x   AD²=80x²
由△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB=AC·10x  
∴AE=8X…………8分
又由△AEF∽△DOF   可得AF∶DF= AE∶OD =；
∴=……10分
考點：圓的切線問題，以及相似比的運用。
點評：解決該試題的關鍵是利用垂直關系證明相切同時利用相似比來求解比值問題，屬于基礎題。