Question

【題目】如圖：在四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為 的等腰三角形．
（1）求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大小；
（2）求四棱錐V﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中點M，CD的中點N，連MN、VM、VN，

∵底面ABCD是邊長為2的正方形，∴MN⊥AB，MN=2

又∵VA=VB= ，M為AB的中點，∴VM⊥AB

∴∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角

在Rt△VAM中，AM=1，VA= ，

∴VM= =2，同理可得VN=2

∴△VMN是正三角形，可得∠VMN=60°

即二面角V﹣AB﹣C的大小為60°

（2）解：由（1）知AB⊥平面VMN

∵AB平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面VMN

過V作VO⊥MN于點O，

∵平面ABCD⊥平面VMN，平面ABCD∩平面VMN=MN，VO平面VMN

∴VO⊥平面ABCD，得VO是四棱錐V﹣ABCD的高

∵VM=MN=NV=2，∴VO=

因此，四棱錐V﹣ABCD的體積為

V= SABCD×VO= =

【解析】（1）取AB的中點M，CD的中點N，連MN、VM、VN．利用正方形的性質和等腰三角形的“三線合一”，證出MN⊥AB且VM⊥AB，得到∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角．再根據題中數據算出△VMN是正三角形，得∠VMN=60°，即得二面角V﹣AB﹣C的大小；（2）過V作VO⊥MN于點O，利用面面垂直的性質與判定證出VO⊥平面ABCD，得VO是四棱錐V﹣ABCD的高．正三角形△VMN中算出VO的長，結合錐體的體積公式和題中的數據，即可得到四棱錐V﹣ABCD的體積．