Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（3ωx+ ），其中ω＞0
（1）若f（x+θ）是周期為2π的偶函數，求ω及θ的值；
（2）若f（x）在（0， ]上是增函數，求ω的最大值；
（3）當ω= 時，將函數f（x）的圖象向右平移 個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由函數解析式f（x）=2sin（3ωx+ ），ω＞0整理可得

f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+ ]=2sin（3ωx+3ωθ+ ），

由f（x+θ）的周期為2π，根據周期公式2π= ，且ω＞0，得ω= ，

∴f（x+θ）=2sin（x+θ+ ），

∵f（x+θ）為偶函數，定義域x∈R關于y軸對稱，

令g（x）=f（x+θ）=2sin（x+θ+ ），

∴g（﹣x）=g（x），

2sin（x+θ+ ）=2sin（﹣x+θ+ ），

∴x+θ+ =π﹣（﹣x+θ+ ）+2kπ，k∈Z，

∴θ=kπ+ ，k∈Z．∴ω= ，θ=kπ+ ，k∈Z．

（2）

解：∵ω＞0，

∴當x∈（0， ]時，3ωx+ ∈（ ，ωπ+ ]，

設u=3ωx+ ，由于y=sinu在（ ， ]上是增函數，在[ ， ]上是減函數，所以ωπ+ ≤ ，∴ω≤ ，∴ω的最大值為

（3）

解：當ω= 時，將函數f（x）的圖象向右平移 個單位，再向上平移1個單位，得到y=2sin2x+1的圖象，所以g（x）=2sin2x+1，

令g（x）=0，得x=kπ+ 或x=kπ+ ，k∈Z，

所以在[0，π]上恰好有兩個零點，

若y=g（x）在[0，b]上有10個零點，

則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為4π+ = ．

【解析】（1）根據周期公式2π= ，且ω＞0，得ω值，根據f（x+θ）是偶函數，f（﹣x+θ）=f（x+θ），可得θ的值；（2）根據正弦函數的單調性，可得ωπ+ ≤ ，解得答案；（3）若y=g（x）在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，進而得到答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．