Question

【題目】已知二次函數，關于實數的不等式的解集為．

（1）當時，解關于的不等式： ；

（2）是否存在實數，使得關于的函數（）的最小值為？若存在，求實數的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 答案見解析；(2)存在滿足條件的．

【解析】試題分析：

(1)由題意結合二次函數的性質分類討論可得：

當時，原不等式解集為；

當時，原不等式的解集為；

當時，原不等式的解集為．

(2)假設存在滿足條件的實數，結合（1）的結論，換元令，則， ，結合二次函數的性質討論可得在滿足條件的．

試題解析：

（1）由不等式的解集為知，

關于的方程的兩根為-1和，且，

由根與系數關系，得， ∴，

所以原不等式化為，

①當時，原不等式轉化為，解得；

②當時，原不等式化為，且，解得或；

③當時，原不等式化為，解得且；

④當時，原不等式化為，且，

解得或；

綜上所述：當時，原不等式解集為；

當時，原不等式的解集為；

當時，原不等式的解集為．

（2）假設存在滿足條件的實數，

由（1）得： ，

，

令，則， ，

對稱軸，

因為，所以， ，

所以函數在單調遞減，

所以當時， 的最小值為，

解得（舍去），或，

故存在滿足條件的．