Question

已知定義在R上的函數f（x）對任意實數x、y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，有f（x）＜0．
（Ⅰ）求證：f（x）為奇函數且在R上是減函數；
（Ⅱ）若正數x，y滿足

1

x

+

4

y

=1，且f（x）+f（y）+f（1-m）＜0恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數恒成立問題

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；從而可得f（x）+f（-x）=0；從而證明為奇函數；再由單調性的定義證明．
（Ⅱ）f（x）+f（y）+f（1-m）＜0可化為f（x+y）＜f（m-1）；從而由基本不等式可得x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9；從而可得9＞m-1，從而解得．

解答： 解：（Ⅰ）證明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）為奇函數；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，

故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故f（x）在R上是減函數；
（Ⅱ）f（x）+f（y）+f（1-m）＜0可化為f（x+y）＜f（m-1）；
又x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9；
（當且僅當

y

x

=

4x

y

，即y=2x時，等號成立）
從而可化f（x+y）＜f（m-1）恒成立為9＞m-1，
即m＜10；
即m的取值范圍為（-∞，10）．

點評：本題考查了函數的奇偶性及單調性的證明與應用，同時考查了恒成立問題的應用，屬于中檔題．