Question

在棱長為1的正方體內，有兩球相外切，并且又分別與正方體相內切．
（1）求兩球的半徑之和；
（2）當兩球的半徑是多少時，兩球體積之和最小．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用ABCD為過球心的對角面，即可求兩球半徑之和．
（2）表示出兩球的體積之和，利用配方法，求兩球體積之和最小．

解答： 解：（1）如圖，ABCD為過球心的對角面，AC=

3

，

設兩球半徑為R、r，則有R+r+

3

（R+r）=

3

，
所以R+r=

3- 3

2

；
（2）設兩球的體積之和為V，
則V=

4

3

π（R³+r³）=

4

3

π•

3- 3

2

[3R²-

3- 3

2

×R+

(3- 3 )2

4

]，
所以當R=r=

3- 3

4

時，V有最小值．

點評：本題是基礎題，考查棱錐的體積的求法，正方體的內接體的知識，解題關鍵在八面體轉化為兩個正四棱錐，是常考題型．