Question

把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第行共有個正整數.設（i、j∈N*）表示位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數.

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；

（Ⅱ）記N*)，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,

（Ⅱ）當，2，3時,   當時，

解析:

（Ⅰ）因為數表中前i－1行共有個數，則第i行的第一個數是，所以                                  （2分）

因為，＝2010，則i－1＝10，即i＝11．              （4分）

令，則.            （5分）

（Ⅱ）因為，則N*).           （6分）

所以.

所以.       （7分）

檢驗知，當，2，3時，，即.       （8分）

猜想：當時，.                （9分）

證法一：當時,

                     . （12分）

綜上分析，當時，；當時，.    （13分）

證法二：① 當時，，所以成立.  （10分）

② 假設當時，不等式成立，即.

則.

因為，

所以，即當時，猜想也正確.

由①、②得當時, 成立.

綜上分析，當時，；當時，.        （13分）