Question

把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第i行共有2^i-1個正整數，設a_ij（i，j∈N^*）表示位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右第j個數．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求證：當n≥4時，An＞n+

C

3 n

．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可知每行的正整數的個數是等比數列，據此可先算出前5行的數分別為1，2，4，8，16總共31個，從而得到a₆₉的值；
（2）觀察已知可得每行的第一個數是以1為首項，以2為公比的等比數列，從而得a_i1=2^i-1，每列的數又構成了以1為公差的等差數列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根據該通項判斷300的位置
（3）利用（2）可得a_nn=2^n-1+n-1，用分組求和，即可得到結論．

解答：（1）解：由于第i行有2^i-1個數，前5行共有1+2+4+8+16=31個數
所以第6行的第9個數是正整數的第40個數，a69=25+(9-1)=40…（2分）
（2）解：因為數表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數，則第i行的第一個數是2^i-1，
所以aij=2i-1+j-1…（5分）
（3）證明：因為aij=2i-1+j-1，則ann=2n-1+n-1(n∈N*)，…（6分）
所以An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

…（8分）
當n≥4時，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．…（10分）

點評：本題以表格的形式給出正整數的排序方式，其關鍵是由表中的排序觀察總結出每行的第一個數等比的規律及每行內的數成等差的規律，從而得出任意一個數的通項公式，結合通項的特點，又考查了分組求和的方法，從而培養學生的觀察、發現、總結規律的能力，綜合運用公式的能力．