Question

把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第i行共有2^i-1個正整數，設a_ij（i，j∈N*）表示位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右第j個數．
（Ⅰ）若a_ij=2013，求i和j的值；
（Ⅱ）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求證：當n≥4時，A_n＞n²+C

3 n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數，可知第i行的第一個數是2^i-1，因此aij=2i-1+j-1，由于2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，于是i-1=10，即可得出i，進而得到j．
（Ⅱ）利用（I）aij=2i-1+j-1，可得ann=2n-1+n-1(n∈N*)，利用等差數列和等比數列的前n項和公式可得A_n，再利用二項式定理可證明．

解答：解：（Ⅰ）∵數表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數，
則第i行的第一個數是2^i-1，∴aij=2i-1+j-1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，則i-1=10，即i=11．
令2¹⁰+j-1=2013，則j=2013-2¹⁰+1=990．
（Ⅱ）∵aij=2i-1+j-1，∴ann=2n-1+n-1(n∈N*)，
∴An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

，
當n≥4時，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．
∴當n≥4時，A_n＞n²+C

3 n

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的前n項和公式、二項式定理等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．