【題目】如圖，在四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
是
上一點，且
.
（1）求證：
平面
；
（2）
是
的中點，若二面角
的平面角的正切值為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）欲證
平面
，只需證明
，
，由
底面
易證，通過計算證明
即可
（2）易證
三條直線兩兩垂直，故以
為坐標原點，建立空間直角坐標系，根據二面角
的平面角的正切值為
，求出
，求出平面
的一個法向量，則
和平面的法向量的夾角的余弦的絕對值就是直線
與平面所成角的正弦值.
證明：（1）
底面，∴
.
因為
，所以
過
作
，垂足為
，則
過
作
，垂足為
，則
四邊形
是平行四邊形，
∵
，
，
，
∴
，
，
，
，
∴，
即
，
∵
，∴平面.
解：（2）由（1）得平面.
∴
是二面角的平面角.
∵底面，
，
∴
，則
.
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
.
設平面的法向量為
，
則
，∴
，令
，則
，
∴
，
∴直線與平面所成角的正弦值為
故答案為：.
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案
課課優能力培優100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若點
在平面
外，過點作面的垂線，則稱垂足
為點在平面內的正投影，記為
.如圖，在棱長為
的正方體
中，記平面
為
，平面
為
，點
是棱
上一動點（與
不重合），
，
.給出下列三個結論：①線段
長度的取值范圍是
；②存在點使得
平面；③存在點使得
.其中正確結論的序號是_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的左頂點為
，右焦點為
，
，
為橢圓
上兩點，圓
.
（1）若
軸，且滿足直線
與圓
相切，求圓的方程；
（2）若圓的半徑為2，點，滿足
，求直線
被圓截得弦長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
底面ABC，
，
，
，D，E分別為棱BC，PC的中點，點F在棱PA上，設
．
（1）當
時，求異面直線DF與BE所成角的余弦值；
（2）試確定t的值，使二面角C-EF-D的平面角的余弦值為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有____種不同選取方法.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
(
為參數)。在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸)中，圓
的極坐標方程為
。
（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；
（2）設圓與直線交于
，
兩點，若點
的坐標為
，求
。
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