Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，點(diǎn)M，N分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，且MN∥BC，.若將矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如圖)．

(1)求證:平面CND⊥平面AMND；

(2)求直線MC與平面AMND所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化為證明MN⊥平面CND；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥ND與點(diǎn)H，則MH是MC在平面AMND內(nèi)的射影，所以∠CMH即直線MC與平面AMND所成的角.

（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，

∴MN⊥ND，MN⊥NC，

又∵ND，NC是平面CND內(nèi)的兩條相交直線，

∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，

∴平面CND⊥平面AMND.

（2）由（1）知∠CND＝60°，

又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，

所以CN＝1，DN=2，

由余弦定理得 ，

所以∠DCN＝90°，

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥ND與點(diǎn)H，連接MH，

則∠CMH即直線MC與平面AMND所成的角，

又，

所以

故直線MC與平面AMND所成角的正弦值為.