Question

【題目】已知函數(shù) ． （Ⅰ）當(dāng)m=8時，求f（﹣4）的值；
（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[﹣8，8]時，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）對任意的實數(shù)m∈[0，2]，都存在一個最大的正數(shù)K（m），使得當(dāng)x∈[0，K（m）]時，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時相應(yīng)的m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 當(dāng)m=8時，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=77 （Ⅱ）函數(shù) ．
0≤x≤8時，函數(shù)f（x）= ．
f（x）=x2﹣8x+7，當(dāng)x=4時，函數(shù)取得最小值﹣9，x=0或x=8時函數(shù)取得最大值：7，
f（x）∈[﹣9，7]7
﹣8≤x＜0時，f（x）=f（x+2），如圖函數(shù)圖象，f（x）∈（﹣5，7]7
所以x∈[﹣8，8]時，|f（x）|max=97
（能清晰的畫出圖象說明|f（x）|的最大值為9，也給3分）

（Ⅲ） ①當(dāng)m=0時，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，
只需x2﹣1≤2，得 ，即 ，此時m=07
②當(dāng)0＜m≤2時，對稱軸 ，要使得|f（x）|≤2，
首先觀察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關(guān)系，
由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2對于0＜m≤2恒成立，7
故K（m）的值為x2﹣mx+m﹣1=2的較大根x2 ，
解得 7
又 =
= 1
故 ，
則顯然K（m）在m∈（0，2]上為增函數(shù)，
所以
由①②可知，K（m）的最大值為 ，此時m=2
【解析】（Ⅰ）通過m=8時，直接利用分段函數(shù)求f（﹣4）的值；（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[﹣8，8]時，畫出函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)以及周期函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)|f（x）|的最大值；（Ⅲ） ①當(dāng)m=0時，f（x）=x2﹣1（x≥0），轉(zhuǎn)化求解即可，②當(dāng)0＜m≤2時，求出對稱軸，要使得|f（x）|≤2，判斷f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關(guān)系， 通過比較根的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．