Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，由已知條件推導(dǎo)出平面，從而得到，由線面垂直得，由此可證明；（2）連接，由（1）可知平面，由已知條件得到即為直線與平面所成的角，即二面角的一個(gè)平面角，即可求解二面角的大小．

試題解析：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)?/span>,所以,

由平面側(cè)面,且平面側(cè)面得平面．

又平面，所以．

因?yàn)槿�棱�?/span>是直三棱柱,則底面．又因?yàn)?/span>平面,

所以．又，所以側(cè)面，

又側(cè)面，故．

（2）連接，由（1）可知平面,則是在平面內(nèi)的射影，

所以即為直線與平面所成的角，

因?yàn)橹本�與平面所成的角的正弦值為,所以,

在等腰直角中，且點(diǎn)是中點(diǎn)，所以．

又,所以．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接,

由（1）知平面,則,且,所以平面,

所以,所以即二面角的一個(gè)平面角．且直角中，．又,

所以．又因?yàn)槎�面�?/span>為銳二面角,

所以．即銳二面角的大小為．