Question

【題目】如圖：四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1， ，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）證明：當點E在邊BC上移動時，總有EF⊥AF；
（2）當CE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系

則可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0， ， ），D（ ，0，0），

設BE=x，則E（x，1，0），∴ =（x，1，﹣1）

得 =x0+1× +（﹣1）× =0

∴ ⊥ ，

∴當點E在邊BC上移動時，總有EF⊥AF

（2）解： =（ ，0，﹣1），設平面PDE的一個法向量為 =（p，q，1），

則 ，得 =（ ，1﹣ ，1），

∵PA與平面PDE所成角的大小為45°， =（0，0，1），

∴sin45°= = ，得 = ，

解得x= 或x ，

∵BE=x ，

∴BE= ，即當CE等于 時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

【解析】（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法能證明當點E在邊BC上移動時，總有EF⊥AF．（2）求出平面PDE的一個法向量，由此利用向量法能求出CE= 時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．