Question

【題目】已知函數，．

（1）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍；

（2）記表示中的最小值，若函數在內恰有一個零點，求實的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用分離參數，并構造新的函數，利用導數判斷的單調性，并求最值，可得結果.

（2）利用對的分類討論，可得，然后判斷函數單調性以及根據零點存在性定理，可得結果.

（1）由，得，

令，

當時，

，，；

當時，

，，，

∴函數在上遞減，在上遞增，

，，

∴實數的取值范圍是

（2） ①由（1） 得當時，，

，

，

函數在內恰有一個零點，符合題意

②當時，

i．若，，

，

故函數在內無零點

ii．若，，，

，

不是函數的零點；

iii．若時，，

故只考慮函數在的零點，，

若時，

，∴函數在上單調遞增，

，

，

∴函數在上恰有一個零點

若時，

， ∴函數在上單調遞減，

，∴函數在上無零點，

若時，

，，

∴函數在上遞減，在上遞增，

要使在上恰有一個零點， 只需，

．

綜上所述，實數的取值范圍是．