Question

在等差數列{a_n}中，a₁=1，a_m=15，前m項的和S_m=64．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足bn=(

1

2

)

an

，且數列{b_n}的前n項和T_n＜M對一切n∈N₊恒成立，求實數M的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設數列的公差為d，利用a₁=1，a_m=15，前m項的和S_m=64，建立方程組，求出公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，求出數列{b_n}的前n項和，即可求實數M的取值范圍．

解答：解：（1）設數列的公差為d，則
∵a₁=1，a_m=15，前m項的和S_m=64
∴

1+(m-1)d=15 m(1+15) 2 =64

，∴d=2，m=8
∴a_n=2n-1；
（2）bn=(

1

2

)

an

=(

1

2

)2n-1
∴數列{b_n}是以

1

2

為首項，

1

4

為公比的等比數列
∴T_n=

2

3

(1-

1

4n

)＜

2

3

∵數列{b_n}的前n項和T_n＜M對一切n∈N₊恒成立，
∴M≥

2

3

．

點評：本題考查等差數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．