Question

要使函數y=1+2^x+a•4^x在（x∈（-∞，1]）有y＞0恒成立，則實數a的取值范圍是

（-

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：使用換元令t=2^x，將函數轉化為一元二次函數y=1+t+at²進行求解．

解答：解：設t=2^x，因為x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
則原函數等價為y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以a＞

-1-t

t2

=-(

1

t

)2-

1

t

．
設f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

，則f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

，因為0＜t≤2，所以

1

t

≥

1

2

，
所以y=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，所以a＞-

3

4

．
故答案為：（-

3

4

．，+∞）．

點評：本題考查了與指數函數有關的復合函數的最值問題，通過換元，將函數轉化為一元二次函數，是解決本題的關鍵，對應不等式恒成立問題通常是轉化為含參問題恒成立，即求函數的最值問題．