Question

要使函數y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題設條件知1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，再由-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，知當x∈（-∞，1]時值域為（-∞，-

3

4

]，分析可得答案．

解答：解：由題意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-

1+2x

4x

在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，
當x∈（-∞，1]時值域為（-∞，-

3

4

]，
∴a＞-

3

4

．

點評：本題考查函數的性質和應用，將不等式恒成立問題轉化為求函數值域問題是解決這類問題常用的方法．