Question

【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D為側棱AA1的中點．

（1）求異面直線DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）以C為原點，CA、CB、CC1為坐標軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，寫出要用的點的坐標，寫出兩個向量的方向向量，根據兩個向量所成的角得到兩條異面直線所成的角．

（2）先求兩個平面的法向量，在第一問的基礎上，有一個平面的法向量是已知的，只要寫出向量的表示形式就可以，另一個平面的向量需要求出，根據兩個法向量所成的角得到結果．

（1）如圖所示，以C為原點，CA、CB、CC1為坐標軸，建立空間直角坐標系

C﹣xyz．

則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．

所以（﹣2，0，1），（0，﹣2，﹣2）．

所以cos．

即異面直線DC1與B1C所成角的余弦值為．

（2）因為（0，2，0），（2，0，0），（0，0，2），

所以0，0，

所以為平面ACC1A1的一個法向量．

因為（0，﹣2，﹣2），（2，0，1），

設平面B1DC的一個法向量為n，n＝（x，y，z）．

由，得

令/span>x＝1，則y＝2，z＝﹣2，n＝（1，2，﹣2）．

所以cos＜n，．

所以二面角B1﹣DC﹣C1的余弦值為．