Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關(guān)于x的方程a= 在區(qū)間（0，+∞）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，

令h（x）= ，h′（x）=﹣ ，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）單調(diào)遞減，

當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→0，

由圖象可知：函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由兩個(gè)極值，

只需 ＜a＜ ，

故D．

方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關(guān)于x的方程2ax=lnx+1在區(qū)間（0，2）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，

則y=2ax與y=lnx+1有兩個(gè)交點(diǎn)，

由直線y=lnx+1，求導(dǎo)y′= ，

設(shè)切點(diǎn)（x0，y0）， = ，解得：x0=1，

∴切線的斜率k=1，

則2a=1，a= ，

則當(dāng)x=2，則直線斜率k= ，

則a= ，

∴a的取值范圍（ ， ），

故選D．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．