Question

【題目】如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形，，平面⊥平面，⊥平面，點為的中點，連接．

（1）求證：平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為為等腰直角三角形，且為中點，所以，又因為平面平面，且交線為，根據面面垂直的性質定理可得平面，又因為平面，根據垂直于同一平面的兩條直線平行得，于是根據線面平行判定定理可證平面；（2）連接，由（1）知平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，因此，由于地面是邊長為的等邊三角形，所以其面積為，則，根據已知⊥平面，所以三棱錐，所以.

試題解析：（1）證明：∵△是等腰直角三角形，，點為的中點，

∴⊥．

∵平面⊥平面，平面平面，平面，

∴⊥平面，

∵⊥平面，

∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）由（1）知平面，

∵點到平面的距離等于點到平面的距離．

∵，△是等邊三角形，

∴，，

連接，則⊥，，

，

∴三棱錐的體積為．