【題目】已知函數
.
（1）求函數
的圖象在點
處的切線方程；
（2）求函數
的單調區間；
（3）若
，且方程
有兩個不相等的實數根
，求證： 
.
【答案】(1) 
(2) 
得單增區間為
， 
無減區間
（3）見解析.
【解析】試題分析：（1）求出函數
的導數，它是切線的斜率，而切點為
，因此切線方程為： 
.（2）函數的定義域為
，而
，構建新函數
，可以證明在
上， 
，因此函數的單調增區間為： 
， 
，無減區間.（3）化簡得到
，其導數為
，通過導數的符號討論可以得到： 
在
上單減函數，在
上單增函數，構造新函數
，可以證明當
，總有
，從而有
，最后根據
的單調性得
也就是
.
解析:（1）因為
，所以切點為
.因為
，所以切線的斜率為
,所以，所求的切線方程為
即
.
（2）
的定義域為
，由（1) 知
，記
，則
，
當
時， 
， 
在
上是減函數；當
時， 
， 
在
上是增函數.
所以
在
上的最小值為
，所以
恒成立，所以
的單增區間為
， 
，無減區間.
（3）
， 
，
當
， 
在
上單減函數；
當
時， 
， 
在
上單增函數.
又當
時， 
，當
時， 
，所以可設
構造函數
，則
當
時， 
，則
， 
在
上單調遞減，又
，
所以
，由
，得
，
所以
，又
， 
在
上單調遞増，所以
，即
，故
.
金牌教輔培優優選卷期末沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法錯誤的是（ ）
A. 命題“若
，則
”的逆否命題為“若
，則
”
B. 若命題
“
， 
”，則命題
的否定為“
， 
”
C. “
”是“
”的充分不必要條件
D. “
”是“直線
與直線
互為垂直”的充要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，一個焦點坐標是
，離心率為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過
作直線交橢圓于
兩點， 
是橢圓的另一個焦點，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
， 
，則下列說法正確的是（ ）
A. 把
上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移
個單位長度，得到曲線
B. 把
上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移
個單位長度，得到曲線
C. 把曲線
向右平移
個單位長度，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的
，縱坐標不變，得到曲線
D. 把曲線
向右平移
個單位長度，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的
，縱坐標不變，得到曲線
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