Question

若雙曲線

x2

a

-

y2

9

=1（a＞0）的一條漸近線方程為3x-2y=0．則雙曲線的頂點和焦點分別為焦點和頂點的橢圓方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件求出雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1，雙曲線的頂點坐標為（±2，0），焦點為（±

13

，0），從而橢圓的頂點為（±

13

，0），焦點為（±2，0），由此能求出橢圓方程．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a

-

y2

9

=1（a＞0）的一條漸近線方程為3x-2y=0，
∴

3

a

=

3

2

，解得a=4，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1，
∴雙曲線的頂點坐標為（±2，0），焦點為（±

13

，0），
∵雙曲線的頂點和焦點分別為橢圓的焦點和頂點，
∴橢圓的頂點為（±

13

，0），焦點為（±2，0），
∴橢圓方程為

x2

13

+

y2

9

=1．
故答案為：

x2

13

+

y2

9

=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、橢圓性質的合理運用．