Question

【題目】已知橢圓的離心率為, 傾斜角為的直線經過橢圓的右焦點且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點, 且交橢圓于兩點，射線于橢圓交于點，設的面積與的面積分別為.

①求的最大值； ②當取得最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據已知得到a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標準方程.(2) ①先把直線和橢圓的方程聯立計算出，再計算出弦長|AB|和,即得的最大值；②先計算出，最后計算.

(1)依題直線的斜率.設直線的方程為,

依題有：

(2)由直線與圓相切得： .

設.將直線代入橢圓的方程得：

且 .

設點到直線的距離為,故的面積為：

,

當.等號成立.故的最大值為1.

設，由直線與圓相切于點，可得，

.

.