Question

【題目】經研究發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散．設f（t）表示學生注意力隨時間t（分鐘）的變化規律（f（t）越大，表明學生注意力越集中），經過實驗分析得知：f（t）= ，
（1）求出k的值，并指出講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能堅持多久？
（2）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到185，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=20時，f（t）=240，

則有240=20k+400；

解得，k=﹣8；

當0＜t≤10時，f（t）=﹣t2+26t+80是單調遞增的，且f（10）=240；

當10＜t≤20時，f（t）=240；

當20＜t≤40時，f（t）=﹣8t+400是單調遞減的，且f（20）=240；

故講課開始后10分鐘，學生的注意力最集中，能堅持10分鐘

（2）解：由f（t）=﹣t2+26t+80=185解得，t=5或t=21（舍去）；

由f（t）=﹣8t+400=185解得，t=26.875；

故學生的注意力至少達到185的時間有26.875﹣5=21.875＜24；

故老師不能在學生達到所需的狀態下講授完這道題目

【解析】（1）由分段函數知，求出每一段上的最大值即可判斷；（2）解每一段上f（t）=185的解，從而得到時間段，從而求解．