Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}的前n項(xiàng)之積，則A₂₀₀₉等于（　　）

• A、2
• B、-2
• C、3
• D、-3

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由已知得{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，
∴a_n+1=

an-1

an

=1-

1

an

，
∴a₂=1-

1

3

=

2

3

，
a₃=1-

3

2

=-

1

2

，
a₄=1+2=3，
…，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
且a₁•a₂•a₃=3×

2

3

×（-

1

2

）=-1，
∵2009=669×3+2
∴A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂=（-1）⁶⁶⁹•3×

2

3

=-2．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2009項(xiàng)積的求法，解題時(shí)要關(guān)鍵是推導(dǎo)出{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列．是中檔題