Question

求最大值：
（1）y=2x（4-x）（0＜x＜4）；  
（2）y=

x-1

+

9-x

；  
（3）y=x+

4

x

（x≤-3）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解，
（2）兩邊平方去根號，轉(zhuǎn)化后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解，
（3）求導(dǎo)，判斷在x≤-3上單調(diào)遞增，x=-3時取得最大值．

解答： 解：（1）y=2x（4-x）=-2x²+8x，（0＜x＜4）為二次函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸為x=2，則最大值為f（2）=8；  
（2）要是函數(shù)有意義則

x-1≥0 9-x≥0

，則1≤x≤9，
y=

x-1

+

9-x

兩邊平方得y²=8+2

(x-1)(9-x)

，
令t=（x-1）（9-x），為二次函數(shù)，開口向下，x=

1+9

2

=5時取得最大值16，
則y²≤8+2×4=16，
0≤y≤4，即函數(shù)最大值為4；
（3）∵y=x+

4

x

，
∴y′=1-

4

x2

，
∵x≤-3，
∴x²≥9，
∴y′≥1-

4

9

＞0，
∴y=x+

4

x

在（-∞，3]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=-3時取得最大值-

13

3

．

點評：本題考查函數(shù)的最值，可使用函數(shù)的性質(zhì)或?qū)��?shù)判斷．