Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*）．設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求T_n；
（Ⅱ）求正整數m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據題意和當n≥2時a_n=S_n-S_n-1化簡，再驗證a₁=S₁，求出a_n代入

1

anan+1

化簡，利用裂項相消法求出數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n；
（Ⅱ）由（I）化簡T_n，根據等比中項的性質得

T

2 m

=T₁•T_n，化簡后求出m的范圍，再由m，n （m≠n）取正整數，求出m、n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，數列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又a₁=S₁=1，故a_n=2n-1 （n∈N*），
所以

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（(

1

2n-1

-

1

2n+1

)）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；      …（5分）
（Ⅱ）假設正整數m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列．
由（I）得，T_n=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

（n∈N*），所以{T_n}是遞增數列，
由

T

2 m

=T₁•T_n 得，（2+

1

m

）²=

1

3

（

1

2+ 1 n

）=6+

3

n

＞6，故2+

1

m

＞

6

，
又m≠n，所以1＜m＜

2+ 6

2

（ m∈N*），
即m=2，解得n=12．
所以當m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數列． …（15分）

點評：本題考查數列a_n與S_n的關系式，等比中項的性質，以及裂項相消法求數列的和，同時考查運算求解能力．