Question

【題目】已知函數(e為自然對數的底數)．

(I)若的單調性；

(II)若，函數內存在零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).

【解析】

（I）定義域為，且，利用導函數討論可得：當時，單調遞減；當時，在上單調遞減，在單調遞增．

（Ⅱ）由函數的解析式可得，令，分類討論，和三種情況可得實數a的取值范圍是.

（I）定義域為

故則

(1)若，則在上單調遞減；

(2)若，令.

①當時，則，因此在上恒有，即在上單調遞減；

②當時，，因而在上有，在上有；因此在上單調遞減，在單調遞增.

綜上，(1)當時，在上單調遞減；

(2)當時，在上單調遞減，在單調遞增．

（Ⅱ）設,

，設，

則．

(1)若,

在單調遞減，

故此時函數無零點，不合題意.

(2)若,

①當時，，由（1）知對任意恒成立，

故，對任意恒成立，

②當時,

，

因此當時必有零點，記第一個零點為，

當時，單調遞增，.

由①②可知，當時，必存在零點.

(2)當，考察函數，

由于

在上必存在零點.設在的第一個零點為，則當時，，故在上為減函數，

又，

所以當時，，從而在上單調遞減，故當時恒有.即，

令，則在單調遞減，在單調遞增.即注意到，

因此，

令時，則有，

由零點存在定理可知函數在上有零點，符合題意.

綜上可知，的取值范圍是.