Question

【題目】若a＞0，b＞0，且 + = ．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＞0，b＞0，且 + = ，

∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，

當且僅當a=b= 時取等號．

∵a3+b3≥2 ≥2 =4 ，當且僅當a=b= 時取等號，

∴a3+b3的最小值為4 ．

（2）解：∵2a+3b≥2 =2 ，當且僅當2a=3b時，取等號．

而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，

故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

【解析】（1）由條件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（2）根據 ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平均值不等式的相關知識，掌握平均不等式：,（當且僅當時取號即調和平均幾何平均算術平均平方平均）
．