Question

定義在R上的函數f（x）對任意的x都有f（x+4）=f（x），當x∈[0，4]時，f（x）=2^|x-m|+n，且f（2）=1
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+a），若對任意x₁∈[1，e]，總存在x₂∈R，使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數f（x）在區間[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值為h₁（t），最大值為h₂（t），令h（t）=h₁（t）•h₂（t），請寫出h（t）關于t的解析式．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題有f（4）=f（0），可求m，再由f（2）=1求n，
（Ⅱ）求出ln（1+a）+2≤g（x₁）+2≤ln（e+a）+2，而x₂∈R，f（x₂）=2^|x₂-2|≥1，要使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，則ln（1+a）+2≥1，解得a≥

1

e

-1；
（Ⅲ）畫函數f（x）的圖象，結合圖象求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題有f（4）=f（0），即2^|4-m|+n=2^|0-m|+n，得2^|4-m|=2^|0-m|，m=2，
又f（2）=1，即2^|2-2|+n=1，
解得n=0．
（Ⅱ）∵x₁∈[1，e]，∴ln（1+a）+2≤g（x₁）+2≤ln（e+a）+2，
而x₂∈R，f（x₂）=2^|x₂-2|≥1，
要使得g（x₁）+2=f（x₂）成立，則ln（1+a）+2≥1，解得a≥

1

e

-1；
（Ⅲ）函數f（x）的圖象：

當0≤t≤1時，1≤t+1≤2，f（x）在區間[t，t+1]上遞減，故h₁（t）=f（t+1）=2^|t-1|=2^1-t，h₂（t）=f（t）=2^|t-2|=2^2-t，
∴h（t）=2^1-t×2^2-t=2^3-2t；
當1＜t≤2時，2＜t+1≤3，f（x）在區間[t，t+1]上先減后增，故h₁（t）=f（2）=2^|2-2|=1，
而對于f（t+1）=2^|t-1|=2^t-1與f（t）=2^|t-2|=2^2-t，在1＜t≤

3

2

時，h₂（t）=f（t）=2^|t-2|=2^2-t，在

3

2

＜t≤2時，h₂（t）=f（t+1）=2^|t-1|=2^t-1，
∴h（t）=

23-2t，0≤t≤1 22-t，1＜t≤ 3 2 2t-1， 3 2 ＜t≤2

；

點評：本題主要考查函數的綜合應用，同時考查數形結合與分類討論的數學思想，屬于中檔題．