Question

（本小題共14分）
已知，動點到定點的距離比到定直線的距離小.
（I）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，,求面積的最小值；
（Ⅲ）在軌跡上是否存在兩點關于直線對稱？若存在，求出直線 的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）不存在

（Ⅰ）∵動點到定點與到定直線的距離相等
∴點的軌跡為拋物線，軌跡的方程為：.        ……………4分
（Ⅱ）設
∵
∴
∵
∴
∴
=
=
=
∴當且僅當時取等號，面積最小值為.     ……………9分
（Ⅲ）設關于直線對稱，且中點
∵ 在軌跡上
∴
兩式相減得：
∴
∴
∵在上
∴，點在拋物線外
∴在軌跡上不存在兩點關于直線對稱.                      ……………14分