Question

若sin2x、sinx分別是sinθ與cosθ的等差中項和等比中項，則cos2x的值為：（　　）

• A、

  1+ 33

  8

• B、

  1- 33

  8

• C、

  1± 33

  8

• D、

  1- 2

  4

Answer 1

分析：利用等差中項和等比中項的性質求得sinx，sin2x與sinθ與cosθ的關系，進而利用同角三角函數的基本關系構造出等式，利用二倍角公式整理成關于cos2x的一元二次方程，解方程求得cos2x的值．

解答：解：依題意可知2sin2x=sinθ+cosθ
sin²x=sinθcosθ
∵sin²θ+cos²θ=（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²2x-2sin²x=1
∴4（1-cos²2x）+cos2x-2=0，即4cos²2x-cos2x-2=0，
求得cos2x=

1± 33

8

∵sin²x=sinθcosθ
∴cos2x=1-2sin²x=1-sin2θ≥0
∴cos2x=

1+ 33

8

故選A．

點評：本題主要考查了三角函數的恒等變換及化簡求值．解題的最后注意對cos2x的值進行驗證，保證答案的正確性．