Question

（本小題滿分12分）如圖，P是平面ADC外的一點，, ,,.
（1）求證：是直線與平面所成的角
（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析
（2）

（1）在中，,，，
∴，∴,………3分
又因為，所以平面……5分
∴是直線與平面所成的角……………6分
（2）解法一：由（1）得平面，則……………………………8分
又∵平面平面=，∴是二面角的平面角………9分
在中，,,
由余弦定理得=
所以，求二面角的余弦值為………12分
解法二：過點P作于點O，由（1）知平面，平面
∴平面PCD⊥平面CDA，則平面.……………7分
∵, ∴  ………………………………8分
則以O為原點建立如圖所示的直角坐標系O-XYZ.

∴O（0,0,0）,A(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,)，C（0，-2,0） ……9分
設平面PAD的法向量為.
∴，又
，所以……………10分
又因為平面ACD的法向量為……………11分
∴
因為二面角為銳角，則二面角的余弦值是…………12分