Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，設分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：面平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用線面平行的判定定理：連接，只需證明，利用中位線定理即可得證；（2）利用面面垂直的判定定理：只需證明面，進而轉化為證明，，易證三角形為等腰直角三角形，可得；由面面的性質及正方形的性質可證面，得；（3）利用等體積法可得結果.

試題解析：（1）證明：因為為正方形，連接交于點，又因為在中，為中點，為中點，∴，且平面，平面，∴平面；

（2）證明：因為為正方形，∴，又面 面，平面平面 ，平面，所以平面，∴，又，所以是等腰直角三角形，且，即，又因為，且平面，所以平面，又平面，∴平面平面；

（3）因為，所以點到平面的距離等于點到平面距離，

所以 ，所以三棱錐的體積是.