Question

【題目】已知函數 （x∈R）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）①判斷函數f（x）的奇偶性；②用定義判斷函數f（x）的單調性；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

又2x＞0，∴﹣1＜y＜1

∴函數f（x）的值域為（﹣1，1）

（2）解：明：①∵ ，

∴函數f（x）為奇函數

② =

在定義域中任取兩個實數x1，x2，且x1＜x2，

則

∵x1＜x2，∴0＜ ，

從而f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函數f（x）在R上為單調增函數

（3）解：由（2）得函數f（x）為奇函數，在R上為單調增函數

∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），

∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），1﹣m＜m2﹣1

∴原不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【解析】（1）先由原函數式反解出2x ， 再利用2x的取值范圍建立關于y的不等關系，解不等式即可；（2）分別利用函數奇偶性和單調性的定義求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（﹣x）與f（x）的關系即得；對于單調性的證明，先在定義域中任取兩個實數x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 再比較f（x1）﹣f（x2）即可；（3）先依據函數y=f（x）在R上單調性化掉符號：“f”，將問題轉化為關于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范圍．
【考點精析】利用函數的值域和函數單調性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．