Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋ax＋b ， g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2．
（1）求a ， b ， c ， d的值；
（2）若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意 ,因為f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+2）+cex，則由導數的幾何意義可知 ,所以 =2．

（2）解：由（1）知， ，

設函數 ，

．

由題設可得 ，即 ，

令 得

①若 ，則 ，∴當 時，

，當 時， ，即F（x）在 單調遞減，在 單調遞增，故 在 取最小值 ，

而 ．

∴當 時， ，即 恒成立．

②若 ，則 ，

∴當 時， ，∴ 在 單調遞增，

而 ，∴當 時， ，即 恒成立，

③若 ，則 ，

∴當 時， 不可能恒成立．

綜上所述， 的取值范圍為

【解析】（1）根據題意f（0）=2，g（0）=2，根據導數的幾何意義可知f（0）=4，g（0）=4，從而可求得a，b，c，d的值；（2）構造函數 F（x）=kg（x）-f（x） ,若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，即證 x ≥ 2 時恒有 F ( x ) ≥ 0 ．先將函數 F（x）=kg（x）-f（x）求導,討論導數的正負得函數的增減區間,根據函數的單調性求其最值．使其最小值大于等于0即可.
【考點精析】利用導數的幾何意義和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．