Question

【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為x，求x的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件 ｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝， ｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝

｛顧客抽獎1次獲一等獎｝， ｛顧客抽獎1次獲二等獎｝， ｛顧客抽獎1次能獲獎｝，由題意， 與 相互獨立， 與 互斥， 與 互斥，且 ， ， ，

∵ ， ，∴ ，

，

故所求概率為

（2）解：顧客抽獎3次獨立重復試驗，由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為 ，∴ ，

于是 ， ， ，

，故x的分布列為

x	0	1	2	3
p

x的數學期望為 .

【解析】（1）顧客抽獎1次能獲獎的情況有：顧客抽獎1次獲一等獎，顧客抽獎1次獲二等獎，分別求出兩種情況的概率并相加即為所求；（2）顧客抽獎3次為獨立重復試驗，由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，根據n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率公式P（X=k）=pk(1-p）n-k分別求出X所有可能取值的概率，列出分布列，根據服從二項分布的離散型隨機變量的數學期望E（X）=np即可求解.
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．